برای حل این سوال، باید بدانیم که علامتهای a، b و c چگونه هستند (مثبت یا منفی) تا بتوانیم روابط را به درستی تعیین کنیم. در سوال گفته شده است که باید روابط زیر را مشخص کنیم:
1. \( abc < 0 \)
2. \( a^b b^c > 0 \)
3. \( \frac{ab}{c} > 0 \)
4. \( \frac{7ab}{7c} < 0 \)
با توجه به این روابط:
- رابطه 1 میگوید حاصلضرب \( abc \) منفی است، یعنی تعداد عوامل منفی در \( a, b, c \) باید فرد باشد.
- رابطه 2 میگوید \( a^b b^c \) مثبت است، اگر فرض کنیم \( b \) و \( c \) هر دو فرد باشند، \( a^b \) و \( b^c \) میتوانند مثبت باشند اگر هم \( a \) و هم \( b \) مثبت باشند یا هر دو منفی.
- رابطه 3 میگوید حاصلضرب \( ab \) بر \( c \) مثبت است، یعنی \( a \) و \( b \) اگر هر دو منفی یا هر دو مثبت باشند و \( c \) هم متناسب با آنها مثبت یا منفی باشد تا کلی تقسیم مثبت شود.
- رابطه 4 میگوید \( \frac{7ab}{7c} < 0 \) به این معناست که به دلیل اینکه در صورت و مخرج مشخصاً ضریب ۷ وجود دارد و میدانیم در محصول حاصلضرب \( ab \) و \( c \) علامت منفی باید باشد.
یکی از حالتهایی که میتواند این شرایط را برآورده کند، این است که:
- \( a \) مثبت، \( b \) منفی و \( c \) مثبت باشد:
- \( abc < 0 \) چون یک عدد منفی داریم.
- \( a^b b^c = (عدد مثبت)^b \times (عدد منفی)^c \) میتواند مثبت شود چون ممکن است منفیها همدیگر را خنثی کنند.
- \(\frac{ab}{c} = (عدد مثبت \times عدد منفی) / (عدد مثبت)\) میتواند مثبت شود اگر \( b \) و \( c \) نسبت جا به جا شوند.
- \( \frac{7ab}{7c} < 0 \) برآورده میشود چون \( ab \) منفی و \( c \) مثبت است.
این تنها یک مجموعه ممکن از توضیحات است و میتواند بر اساس دیگر شرایط تغییر کند اما به نظر میرسد این مجموعه با معادلات داده شده همخوانی دارد.
